Bài tập 1, § 5

Cho $A$ là một vành giao hoán và $3$ là một iđêan của $A$. Một $A$-môđun $M$ được gọi là tuyệt đối Hausdorff đối với $3$ nếu, với mọi $A$-môđun sinh hữu hạn $N$, $A$-môđun $N \otimes_A M$ là Hausdorff với tôpô $\mathfrak{g}$-adic; một $A$-môđun tuyệt đối Hausdorff là Hausdorff iđêan.

(a) Để $M$ tuyệt đối Hausdorff đối với $\mathfrak{g}$, điều kiện cần và đủ là, với mọi $A$-môđun sinh hữu hạn $N$ và mọi môđun con $N'$ của $N$, $\operatorname{Im}(N' \otimes_A M)$ là đóng trong $N \otimes_A M$ với tôpô $3$-adic.

(b) Cho $B$ là một $A$-đại số giao hoán và $\mathfrak{L}$ là một iđêan của $B$ chứa $\mathfrak{g}B$. Nếu $M$ là một $B$-môđun tuyệt đối Hausdorff đối với $\mathfrak{L}$, thì $M$ là một $A$-môđun tuyệt đối Hausdorff đối với $3$.