Exercice 3, § 5

Les notations étant celles de l’exerc. 11 du § 3, soit $N$ le sous-module de $\widehat{E}$, adhérence dans $\widehat{E}$ du sous-module de $\widehat{E}$ engendré par les vecteurs $pe_{2n-1} - p^n e_{2n} (n \geq 1)$, et soit $M = \widehat{E}/N$. Montrer que pour la topologie $p$-adique, le sous-module $pM$ de $M$ n’est pas fermé dans $M$, et en déduire que $M$ est un $\mathbf{Z}_p$-module idéalement séparé mais non absolument séparé pour $p$.