Exercice 4, § 5

Soient $A$ un anneau commutatif, $\mathfrak{J}$ un idéal de $A$, $S = 1 + \mathfrak{J}$. Montrer que si $M$ est un $A$-module absolument séparé pour $\mathfrak{J}$, on a $S^{-1}M = M$, autrement dit, pour tout $a \in S$, $x \to ax$ est une bijection de $M$ sur lui-même. (Montrer d’abord que l’hypothèse que $M$ est séparé pour la topologie $\mathfrak{J}$-adique entraîne que $x \to ax$ est injective; prouver ensuite que le sous-module $aM$ de $M$ est dense dans $M$ pour la topologie $\mathfrak{J}$-adique et utiliser l’exerc. 1 a)).