Bài tập 4, § 5

Cho $A$ là một vành giao hoán, $3$ là một iđêan của $A$ và $S = 1 + 3$. Chứng minh rằng, nếu $M$ là một $A$-môđun Hausdorff tuyệt đối đối với $\mathfrak{g}$, thì $S^{-1}M = M$, nói cách khác, với mọi $a \in S$, $x \mapsto ax$ là một song ánh của $M$ lên chính nó. (Trước hết hãy chứng minh rằng giả thiết $M$ là Hausdorff với tôpô $3$-adic suy ra rằng $x \mapsto ax$ là đơn ánh; sau đó chứng minh rằng môđun con $aM$ của $M$ là trù mật trong $M$ với tôpô $8$-adic và sử dụng Bài tập 1 (a).)