Exercice 7, § 5

Soit $(A_\lambda, f_{\mu\lambda})$ un système inductif filtrant d’anneaux locaux noethériens ; si $m_\lambda$ est l’idéal maximal de $A_\lambda$, on suppose que pour $\lambda \leq \mu$, on ait $m_\mu = m_\lambda A_\mu$, et que $A_\mu$ soit un $A_\lambda$-module plat. Montrer alors que $A = \lim_{\longrightarrow} A_\lambda$ est noethérien et est un $A_\lambda$-module plat pour tout $\lambda$. (Si $m = m_\lambda A$ est l’idéal maximal de $A$ (chap. II, § 3, exerc. 16), montrer que sur $A$ la topologie $m$-adique est séparée, en observant que $A$ est un $A_\lambda$-module fidèlement plat pour tout $\lambda$. Prouver ensuite que, si $\hat{A}$ est le complété de $A$ pour la topologie $m$-adique, $\hat{A}$ est noethérien, en utilisant le § 2, no 10, cor. 5 du th. 2 ; enfin, prouver que pour tout $\lambda$, $\hat{A}$ est un $A_\lambda$-module plat en utilisant le th. 1 du no 2 et la prop. 2 du no 3.)