Bài tập 7, § 5

Cho $(A_\alpha, f_{\mu\lambda})$ là một hệ có hướng trực tiếp của các vành địa phương Noether; nếu $m_\lambda$ là iđêan cực đại của $A_\lambda$, giả sử rằng, với $\lambda \leq \mu, m_\mu = m_\lambda A_\mu$ và $A_\mu$ là một $A_\lambda$-môđun phẳng. Khi đó hãy chứng minh rằng $A = \varprojlim A_\lambda$ là Noether và là một $A_\lambda$-môđun phẳng với mọi $\lambda$. (Nếu $m = m_\lambda A$ là iđêan cực đại của $A$ (Chương II, § 3, Bài tập 16), hãy chứng minh rằng trên $A$ tôpô $m$-adic là Hausdorff, nhận thấy rằng $A$ là một $A_\lambda$-môđun phẳng trung thành với mọi $A$. Sau đó chứng minh rằng, nếu $\hat{A}$ là phần hoàn thành của $A$ đối với tôpô $m$-adic, thì $\hat{A}$ là Noether, sử dụng § 2, no. 10, Hệ quả 5 của Định lý 2; cuối cùng, chứng minh rằng, với mọi $A$, $\hat{A}$ là một $A$-môđun phẳng bằng cách sử dụng Định lý 1 của no. 2 và Mệnh đề 2 của no. 3.)