Exercice 8, § 5

Soient $A$ un anneau local noethérien, $m$ son idéal maximal, $k = A/m$ son corps résiduel. Soit $K$ une extension de $k$ ; montrer qu’il existe un homomorphisme local de $A$ dans un anneau local noethérien $B$ tel que $B/mB$ soit isomorphe à $K$ et que $B$ soit un $A$-module plat. (Considérer d’abord le cas où $K = k(t)$, en distinguant deux cas suivant que $t$ est algébrique ou transcendant sur $k$ ; considérer ensuite une famille $(K_\lambda)$ de sous-corps de $K$ contenant $k$, bien ordonnée par inclusion, et tel que si $K_\lambda$ a un prédécesseur $K_\mu$, on ait $K_\lambda = K_\mu(t_\mu)$ pour un $t_\mu \in K_\mu$. Enfin, appliquer l’exerc. 7.)