Exercice 11, § 2

Soient A un anneau, M un A-module, N un sous-module de M. On appelle racine de N dans M et on note $r_M(N)$ l’ensemble des $a \in A$ tels que l’homothétie de rapport $a$ dans $M/N$ soit presque nilpotente. Montrer que $r_M(N)$ est un idéal de A et que pour tout $p \in \operatorname{Ass}_f(M/N)$ on a $r_M(N) \subset p$. Si $N_1, N_2$ sont deux sous-modules de M, on a $r_M(N_1 \cap N_2) = r_M(N_1) \cap r_M(N_2)$; si $a$ est un idéal de A, $r_M(aN) \supset r(a) \cap r_M(N)$ et $r_A(a) = r(a)$.