Exercice 20, § 2

On définit pour un anneau quelconque A la notion de décomposition primaire et celle de décomposition primaire réduite comme dans les nos 2 et 3 (en utilisant la notion de sous-module primaire définie dans l’exerc. 12). a) Généraliser les prop. 4 et 6, en y remplaçant partout Ass par Ass_f. b) Soient E un A-module de type fini, F un sous-module de E. Pour toute partie multiplicative S de A, on note sat_S(F) le saturé de F dans E pour S. Montrer que si F admet une décomposition primaire dans E, tout saturé de F dans E est de la forme F : (α) pour un $a \in A$. (Soient $p_i$ $(1 \leq i \leq r)$ les éléments de Ass_f(E/F). Montrer d’abord, en utilisant a),

EXERCICES

que pour toute partie multiplicative S de A, il existe $b \in A$ tel que si T est l’ensemble multiplicatif des $b^n$ ($n \geqslant 0$), on a $\mathrm{sat}_T(F) = \mathrm{sat}_S(F)$, en prenant $b$ tel que $b \in p_i$ lorsque $p_i \cap S \neq \varnothing$ et $b \notin p_i$ dans le cas contraire. Prouver ensuite qu’on peut prendre $a = b^m$ pour $m$ assez grand.)

c) Donner un exemple de $\mathbf{Z}$-module E tel que $\{0\}$ soit primaire par rapport à E mais qu’il existe des saturés $\mathrm{sat}_S(0)$ qui ne soient pas de la forme $0 : (a)$ (cf. Alg., chap. VII, § 2, exerc. 3).