Bài tập 20, § 2

Khái niệm phân tích nguyên sơ và khái niệm phân tích nguyên sơ rút gọn có thể được định nghĩa cho mọi vành $A$ như trong các số 2 và 3 (sử dụng khái niệm môđun con nguyên sơ được định nghĩa trong Bài tập 12).

(a) Khái quát hóa các Mệnh đề 4 và 6 bằng cách thay thế Ass bởi Ass, xuyên suốt.

(b) Cho $E$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn và $F$ là một môđun con của $E$. Với mọi tập con nhân $S$ của $A$, ký hiệu $\operatorname{sat}_S(F)$ là phần bão hòa của $F$ trong $E$ đối với $S$. Chứng minh rằng, nếu $F$ có một phân tích nguyên sơ trong $E$, thì mọi phần bão hòa của $F$ trong $E$ đều có dạng $F : (a)$ với một $a \in A$. (Gọi $p_i$ ($1 \leq i \leq r$) là các phần tử của $\operatorname{Ass}_f(E/F)$. Trước hết hãy chứng minh rằng, sử dụng (a), với mọi tập con nhân $S$ của $A$ tồn tại $b \in A$ sao cho, nếu $T$ là tập con nhân của các $b^n$ ($n \geq 0$), thì $\operatorname{sat}_T(F) = \operatorname{sat}_S(F)$, bằng cách lấy $b$ sao cho $b \in p_i$ nếu $p_i \cap S \neq 0$ và $b \notin p_i$ trong trường hợp ngược lại. Sau đó chứng minh rằng có thể lấy $a = b^m$ với $m$ đủ lớn.)

(c) Cho một ví dụ về một $\mathbf{Z}$-môđun $E$ sao cho $\{0\}$ là nguyên sơ đối với $E$ nhưng tồn tại các phần bão hòa $\operatorname{sat}_S(0)$ không có dạng $0$: (xem Đại số, Chương VII, § 2, Bài tập 3).