Exercice 21, § 2

Soient A un anneau, F un polynôme unitaire de $A[X]$, B l’anneau $A[X]/F.A[X]$, $\mathfrak{m}$ un idéal maximal de A, $k = A/\mathfrak{m}$ le corps quotient, F l’image canonique de F dans $k[X]$.

a) Soit $\overline{F} = \prod_{i=1}^n f_i^{e_i}$, où les $f_i$ sont des polynômes irréductibles de $k[X]$, deux à deux distincts. Soit $F_i \in A[X]$ un polynôme unitaire tel que son image canonique dans $k[X]$ soit $f_i$. On note $\mathscr{M}_i$ l’idéal $\mathfrak{m}B + F_i.B$ de B ; montrer que les $\mathscr{M}_i$ sont deux à deux distincts et sont les seuls idéaux maximaux de B contenant $\mathfrak{m}B$ (noter que $B/\mathfrak{m}B$ est une algèbre de rang fini sur $A/\mathfrak{m} = k$ engendrée par les racines de $\overline{F}$).

b) Pour tout i, on pose $\mathscr{Q}_i = \mathfrak{m}B + F_i^{e_i}.B$. Montrer que les $\mathscr{Q}_i$ sont $\mathscr{M}_i$-primaires dans B et que $\mathfrak{m}B = \mathscr{Q}_1 \cap \mathscr{Q}_2 \cap \ldots \cap \mathscr{Q}_n = \mathscr{Q}_1 \mathscr{Q}_2 \ldots \mathscr{Q}_n$.

c) Pour que B soit un anneau local, il faut et il suffit que A soit un anneau local et que $\overline{F}$ soit une puissance d’un polynôme irréductible de $k[X]$.