Bài tập 21, § 2

Cho $A$ là một vành, $F$ là một đa thức đơn khởi của $A[X]$, $B$ là vành $A[X]/F.A[X]$, $m$ là một iđêan cực đại của $A$, $k = A/m$ là trường thương và $\overline{F}$ là ảnh chính tắc của $F$ trong $k[X]$.

(a) Cho $\overline{F} = \prod_{i=1}^n f_i^{e_i}$, trong đó các $f_i$ là các đa thức bất khả quy phân biệt của $k[X]$. Cho $F_i \in A[X]$ là một đa thức đơn khởi sao cho ảnh chính tắc của nó trong $k[X]$ là $f_i$. Gọi $\mathfrak{M}_i$ là iđêan $mB + F_i.B$ của $B$; hãy chứng minh rằng các $\mathfrak{M}_i$ là phân biệt và là các iđêan cực đại duy nhất của $B$ chứa $mB$ (chú ý rằng $B/mB$ là một đại số có hạng hữu hạn trên $A/m = k$ được sinh bởi các nghiệm của $\overline{F}$).

(b) Với mọi $i$ hãy viết $\Omega_i = mB + F_i^{e_i}.B$. Hãy chứng minh rằng các $\Omega_i$ là $\mathfrak{M}_i$-nguyên sơ trong $B$ và rằng $mB = \Omega_1 \cap \cdots \cap \Omega_n = \Omega_1 \Omega_2 \cdots \Omega_n$.

(c) Để B là một vành địa phương, điều kiện cần và đủ là A là một vành địa phương và $\overline{F}$ là một lũy thừa của một đa thức bất khả quy của $k[X]$.