Exercice 24, § 2

Dans un anneau laskérien $A$ (exerc. 23), soient $p_1, p_2, p_3$ trois idéaux premiers distincts tels que $p_1 \subset p_2 \subset p_3$; soient $x_2 \in p_2 - p_1, x_3 \in p_3 - p_2$. En remplaçant au besoin $p_2$ et $p_3$ par des idéaux premiers contenus dans $p_2, p_3$ respectivement et contenant respectivement $x_2$ et $x_3$, on peut supposer que $p_2$ est minimal dans $\operatorname{Ass}_f(A/(p_1 + Ax_2))$, et $p_3$ minimal dans $\operatorname{Ass}_f(A/(p_2 + Ax_3))$. On considère l’idéal $a = p_1 + x_2 p_3$.

a) Montrer que l’on a $x_2 \notin a$ et $x_3^k \notin a$ pour tout entier $k > 0$; en déduire que $a$ n’est pas primaire dans $A$. Montrer que $p_2$ est un élément minimal de $\operatorname{Ass}_f(A/a)$.

b) Soit $a = \bigcap_{i=1}^n q_i$ une décomposition primaire réduite de $a$ dans $A$, et soit $p'_i$ la racine de $q_i$; on suppose que $p_3 \notin p'_i$ pour $1 \leq i \leq s$, $p_3 \subset p'_i$ pour $s+1 \leq i \leq n$; montrer que l’on a nécessairement $s < n$ et $x_2 \in q_i$ pour $1 \leq i \leq s$. Montrer qu’il existe un indice $i \geq s+1$ tel que $p_3 = p'_i$. (Raisonner par l’absurde : dans le cas contraire, il existerait $y \notin p_3$ tel que $y \in q_i$ pour tout $i \geq s+1$; on aurait alors $x_2 y \in a$ et on prouvera que cette relation contredit $y \notin p_3$.) Conclure que $p_3$ est un élément non minimal de $\operatorname{Ass}_f(A/a)$; on désignera par $q'_3$ la composante primaire de $a$ dans $A$ qui lui correspond dans la décomposition précédente.

c) Soit $b = p_2 \cap q'_3$; soit d’autre part $m > 0$ tel que $x_3^m \in q'_3$, et soit $c = b + Ax_3^{2m}$. Montrer que le saturé de $c$ pour $p_3$ est un idéal $p_3$-primaire $q''_3$ (montrer que tout élément de $p_3$ a une puissance dans $q''_3$ en utilisant le fait que le saturé de $p_2 + Ax_3$ pour $p_3$ est primaire). Prouver d’autre part que $x_3^m \notin q''_3$ et que $b = p_2 \cap q''_3$; on a donc deux décompositions primaires réduites distinctes de l’idéal $b$.