Bài tập 24, § 2

Trong một vành Lasker A (Bài tập 23), cho $p_1, p_2, p_3$ là ba iđêan nguyên tố phân biệt sao cho $p_1 \subset p_2 \subset p_3$; cho $x_2 \in p_2 - p_1, x_3 \in p_3 - p_2$. Nếu cần, thay thế $p_2$ và $p_3$ lần lượt bởi các iđêan nguyên tố được chứa trong $p_2, p_3$ và lần lượt chứa $x_2$ và $x_3$, ta có thể giả sử rằng $p_2$ là cực tiểu trong $\operatorname{Ass}_f(A/(p_1 + Ax_1))$ và $p_3$ là cực tiểu trong $\operatorname{Ass}_f(A/p_2 + Ax_3))$. Xét iđêan $a = p_1 + x_2 p_3$.

(a) Chứng minh rằng $x_2 \notin a$ và $x_3^k \notin a$ với mọi số nguyên $k > 0$; suy ra rằng a không nguyên sơ trong A. Chứng minh rằng $p_2$ là một phần tử cực tiểu của $\operatorname{Ass}_f(A/a)$.

(b) Cho $a = \bigcap_{i=1}^n q_i$ là một phân tích nguyên sơ rút gọn của a trong A và cho $p_i'$ là căn của $q_i$; giả sử rằng $p_3 \notin p_i'$ với $1 \leq i \leq s$, $p_3 \subset p_i'$ với $s+1 \leq i \leq n$; chứng minh rằng tất yếu $s < n$ và $x_2 \in q_i$ với $1 \leq i \leq s$. Chứng minh rằng tồn tại một chỉ số $i \geq s+1$ sao cho $p_3 = p_i'$. (Lập luận bằng phản chứng: trong trường hợp ngược lại, sẽ tồn tại $y \notin p_3$ sao cho $y \in q_i$ với mọi $i \geq s+1$; khi đó $x_2 y \in a$ và chứng minh rằng quan hệ này mâu thuẫn với $y \notin p_3$.)

Kết luận rằng $p_3$ là một phần tử không cực tiểu của $\mathrm{Ass}_f(A/a)$; ta ký hiệu $q'_3$ là thành phần nguyên sơ của a trong A tương ứng với nó trong phân tích trên.

(c) Cho $b = p_2 \cap q'_3$; mặt khác, cho $m > 0$ sao cho $x_3^m \in q'_3$ và cho $c = b + Ax_3^{2m}$. Chứng minh rằng phép bão hòa của c đối với $p_3$ là một iđêan $p_3$-nguyên sơ $q''_3$ (chứng minh rằng mọi phần tử của $p_3$ đều có một lũy thừa thuộc $q''_3$ bằng cách sử dụng sự kiện rằng phép bão hòa của $p_2 + Ax_3$ đối với $p_3$ là nguyên sơ). Mặt khác, chứng minh rằng $x_3^m \notin q''_3$ và $b = p_2 \cap q''_3$; khi đó tồn tại hai phân tích nguyên sơ rút gọn phân biệt của iđêan b.