Exercice 25, § 2

Soit $A$ un anneau laskérien. Soient $a$ un idéal de $A$, $a = \bigcap_{1 \leq i \leq n} q_i$ une décomposition primaire réduite de $a$ dans $A$; on désigne par $p_i$ la racine de $q_i$; on suppose que les éléments minimaux de $\operatorname{Ass}_f(A/a)$ sont les $p_i$ tels que $1 \leq i \leq s$, et que l’on a $s < n$. On pose $b = \bigcap_{1 \leq i \leq s} q_i$,

a) Montrer qu’il existe $x \in c$ tel que $x \notin p_i$ pour $1 \leq i \leq s$ et que l’on a $a = b \cap (a + Ax)$.

b) On suppose par exemple que $p_{s+1}$ est minimal dans $\operatorname{Ass}_f(A/c)$. Montrer que l’on a $xp_{s+1} + a \neq Ax + a$, et $a = b \cap (xp_{s+1} + a)$; en outre, $p_{s+1}$ est minimal dans $\operatorname{Ass}_f(A/d)$, où $d = xp_{s+1} + a$. Montrer que le saturé de $d$ pour $p_{s+1}$ est différent de $q_{s+1}$. (Remarquer que ce saturé ne peut contenir $x$.)