Bài tập 25, § 2

Cho $A$ là một vành Laskerian. Cho $a$ là một iđêan của $A$ và $a = \bigcap_{1 \leq i \leq n} q_i$ là một phân tích nguyên sơ thu gọn của $a$ trong $A$; gọi $p_i$ là căn của $q_i$; giả sử rằng các phần tử cực tiểu của $\mathrm{Ass}_f(A/a)$ là các $p_i$ sao cho $1 \leq i \leq s$ và $s < n$. Ta viết $b = \bigcap_{1 \leq i \leq s} q_i, c = \bigcap_{s+1 \leq i \leq n} q_i$.

(a) Chứng minh rằng tồn tại $x \in c$ sao cho $x \notin p_i$ với $1 \leq i \leq s$ và $a = b \cap (a + Ax)$.

(b) Giả sử chẳng hạn rằng $p_{s+1}$ là cực tiểu trong $\mathrm{Ass}_f(A/c)$. Chứng minh rằng $xp_{s+1} + a \neq Ax + a$ và $a = b \cap (xp_{s+1} + a)$; hơn nữa, $p_{s+1}$ là cực tiểu trong $\mathrm{Ass}_f(A/b)$, trong đó $b = xp_{s+1} + a$. Chứng minh rằng phần bão hòa của $b$ đối với $p_{s+1}$ khác với $q''_1$. (Chú ý rằng phần bão hòa này không thể chứa $x$.)