Exercice 26, § 2

Soit $A$ un anneau laskérien dans lequel tout idéal $\neq A$ possède une décomposition primaire réduite unique dans $A$.

a) Montrer que pour tout idéal $a \neq A$, tous les éléments de $\operatorname{Ass}_f(A/a)$ sont minimaux dans cet ensemble (utiliser l’exerc. 25 b)).

Soit $\{0\} = \bigcap_{1 \leq i \leq n} q_i$ une décomposition primaire réduite dans $A$, et soit $p_i$ la racine de $q_i$ ($1 \leq i \leq n$). Montrer que tout idéal premier de $A$ distinct des $p_i$ est maximal (utiliser l'exerc. 24 c)). Si $p$ est un idéal premier de $A$, $q$ un idéal contenu dans $p$ et tel que $p/q$ soit un nilidéal dans $A/q$, montrer que tout idéal $a$ tel que $q \subset a \subset p$ est $p$-primaire. En déduire que si l'un des $p_i$ n'est pas maximal, $p_i$ est le seul idéal $p_i$-primaire et on a $p_i^2 = p_i$ (utiliser l'exerc. 16).

b) Montrer que dans $A$ toute suite croissante d'idéaux égaux à leurs racines est stationnaire. En déduire que toute suite strictement croissante ($a_n$) d'idéaux, telle que tout quotient $a_n/a_{n-1}$ contienne des éléments non nilpotents dans $A/a_{n-1}$, est finie. Conclure de là que pour tout idéal premier $p$ de $A$, il existe un idéal primaire de racine $p$ et de type fini. En particulier, chacun des $p_i$ qui n'est pas maximal est de type fini et par suite contient un idempotent $e_i$ qui l'engendre (chap. II, § 4, exerc. 15).

c) Montrer que, pour $i \neq j$, on a $p_i + p_j = A$ (considérer $e_i + e_j - e_i e_j$ si $p_i$ et $p_j$ ne sont pas maximaux). En conclure que $A$ est isomorphe au produit d'un nombre fini d'anneaux $A_i = A/q_i$ tels que : ou bien $A_i$ est un anneau local dont l'idéal maximal est un nilidéal ; ou bien $A$ est un anneau intègre dans lequel tout idéal premier $\neq \{0\}$ est maximal et dans lequel tout idéal $\neq \{0\}$ n'est contenu que dans un nombre fini d'idéaux maximaux (cf. § 1, exerc. 2). Réciproque.