Bài tập 26, § 2

Cho $A$ là một vành Laskerian trong đó mọi iđêan $\#A$ đều có một phân tích nguyên sơ thu gọn duy nhất trong $A$.

(a) Chứng minh rằng đối với mọi iđêan $a \neq A$ tất cả các phần tử của $\mathrm{Ass}_f(A/a)$ đều là cực tiểu trong tập hợp này (sử dụng Bài tập 25 (b)). Cho $\{0\} = \bigcap_{1 \leq i \leq n} q_i$ là một phân tích nguyên sơ thu gọn trong $A$ và cho $p_i$ là căn của $q_i$ ($1 \leq i \leq n$). Chứng minh rằng mọi iđêan nguyên tố của $A$ phân biệt với các $p_i$ đều là cực đại (sử dụng Bài tập 24 (c)). Nếu $p$ là một iđêan nguyên tố của $A$, $q$ là một iđêan được chứa trong $p$ và sao cho $p/q$ là một iđêan nil trong $A/q$, chứng minh rằng mọi iđêan $a$ sao cho $q \subset a \subset p$ đều là $p$-nguyên sơ. Suy ra rằng nếu một trong các $p_i$ không là cực đại, thì $p_i$ là iđêan $p_i$-nguyên sơ duy nhất và $p_i^2 = p_i$ (sử dụng Bài tập 16).

(b) Chứng minh rằng trong $A$ mọi dãy tăng các iđêan bằng căn của chúng đều dừng. Suy ra rằng mọi dãy tăng ngặt $(a_i)$ các iđêan sao cho mọi thương $a_n/a_{n-1}$ chứa các phần tử không lũy linh trong $A/a_{n-1}$ đều hữu hạn. Kết luận từ đó rằng đối với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$ tồn tại một iđêan nguyên sơ có căn $p$ và sinh hữu hạn. Đặc biệt, mỗi $p_i$ không cực đại đều sinh hữu hạn và do đó chứa một phần tử lũy đẳng $e_i$ sinh ra nó (Chương 11, § 4, Bài tập 15).

(c) Chứng minh rằng, với $i \neq j$ $p_i + p_j = A$ (xét $e_i + e_j - e_i e_j$ nếu $p_i$ và $p_j$ không cực đại). Kết luận rằng $A$ đẳng cấu với tích của một số hữu hạn các vành $A_i = A/q_i$ sao cho: hoặc $A$, là một vành địa phương có iđêan cực đại là một iđêan nil; hoặc $A$ là một miền nguyên trong đó mọi iđêan nguyên tố $\neq \{0\}$ đều là cực đại và trong đó mọi iđêan $\neq \{0\}$ chỉ được chứa trong một số hữu hạn iđêan cực đại (xem § 1, Bài tập 2). \* Suy ra đảo lại.