Exercice 27, § 2

Soient $M$ un $A$-module, $Q$ un sous-module $p$-primaire de $M$. On dit que $Q$ est d'exposant $m$ si $m$ est le plus petit entier $k$ tel que $p^k M \subset Q$ (cf. exerc. 3) ; s'il n'existe aucun entier $k$ ayant cette propriété, on dit que $Q$ est d'exposant infini. Si $Q$ est d'exposant fini, on dit aussi que $Q$ est fortement primaire.

a) Montrer que si on a $Q : p = Q$, $Q$ est d'exposant infini, et qu'il existe $\alpha \in p$ tel que $Q : (\alpha)$ soit distinct de $Q$ et soit un sous-module $p$-primaire de $M$ d'exposant infini.

b) Donner un exemple d'un anneau $A$ et d'un idéal $p$-primaire $q$ d'exposant infini et tel que $q : p = q$ (cf. § 1, exerc. 2).

c) Soient $K$ un corps, $A$ l'anneau des polynômes $K[X_n]_{n \in \mathbf{N}}$, $p$ l'idéal premier de $A$ engendré par les $X_n$, $q$ l'idéal $p$-primaire engendré par les produits $X_i X_j$ ($i \neq j$) et les éléments $X_n^{n+1}$. Montrer que pour tout $\alpha \in p - q$, $q : (\alpha)$ est d'exposant fini, que $q : p \neq q$ et que $q : p$ est un idéal $p$-primaire d'exposant infini.

d) Soit $Q$ un sous-module $p$-primaire de $M$ d'exposant fini $e$. Montrer que les $p^k M$ pour $k < e$ sont tous distincts et que les sous-modules $Q : p^k$ pour $k < e$ sont tous distincts. Pour tout idéal $a$ de $A$, montrer que, ou bien $Q : a = Q$, ou bien $Q : a$ est un sous-module $p$-primaire dans $M$, distinct de $M$ et d'exposant $\leq e - 1$ (observer que si $a \subset p$, on a $p^{e-1} M \subset Q : a$).