Bài tập 27, § 2

Cho M là một A-môđun và Q là một môđun con p-nguyên sơ của M. Q được gọi là có số mũ m nếu m là số nguyên nhỏ nhất k sao cho $p^k M \subset Q$ (xem Bài tập 3); nếu không tồn tại số nguyên k có tính chất này, Q được gọi là có số mũ vô hạn. Nếu Q có số mũ hữu hạn, Q còn được gọi là nguyên sơ mạnh.

(a) Chứng minh rằng, nếu $Q : p = Q$, thì Q có số mũ vô hạn và tồn tại $\alpha \in p$ sao cho $Q : (\alpha)$ phân biệt với Q và là một môđun con p-nguyên sơ của M có số mũ vô hạn.

(b) Cho một ví dụ về một vành A và một iđêan p-nguyên sơ q có số mũ vô hạn sao cho $q : p = q$ (xem § 1, Bài tập 2).

(c) Cho K là một trường, A là vành đa thức $K[X_n]_{n \in \mathbf{N}}$, p là iđêan nguyên tố của A sinh bởi các $X_n$ và q là iđêan p-nguyên sơ sinh bởi các tích $X_i X_j$ ($i \neq j$) và các phần tử $X_n^{n+1}$. Chứng minh rằng với mọi $a \in p - q$, $q : (a)$ có số mũ hữu hạn, rằng $q : p \neq q$ và rằng $q : p$ là một iđêan p-nguyên sơ có số mũ vô hạn.

(d) Cho Q là một môđun con p-nguyên sơ của M có số mũ hữu hạn e. Chứng minh rằng các $p^k M$ với $k < e$ đều phân biệt và các môđun con $Q : p^k$ với $k < e$ đều phân biệt. Với mọi iđêan a của A, chứng minh rằng hoặc là $Q : a = Q$ hoặc là $Q : a$ là một môđun con p-nguyên sơ trong M phân biệt với M và có số mũ $\leq e - 1$ (lưu ý rằng nếu $a \subset p$ thì $p^{e-1} M \subset Q : a$).