Exercice 28, § 2

On dit qu'un $A$-module $E$ de type fini est fortement laskérien si tout sous-module de $E$ admet une décomposition primaire dans $E$ dont tous les éléments soient fortement primaires (exerc. 27).

a) Montrer que pour qu'un $A$-module de type fini $E$ soit fortement laskérien, il faut et il suffit qu’il vérifie l’axiome (LA_II) de l’exercice 23 et l’axiome :

(LA_{III}) Pour toute suite (b_k) d’idéaux de A et tout sous-module F de E, la suite croissante des sous-modules F : (b_1 b_2 ... b_k) est stationnaire. (Pour montrer que les conditions sont nécessaires, utiliser l’exerc. 27 d). Pour voir qu’elles sont suffisantes, prouver d’abord que (LA_{III}) entraîne (LA_I), puis qu’elle entraîne que tout idéal primaire est d’exposant fini, en utilisant l’exerc. 27 a)). b) Montrer que l’anneau A défini dans l’exerc. 23 c) vérifie (LA_{III}). c) Soient K un corps, V un K-espace vectoriel de dimension infinie, A = K ⊕ V l’anneau dont la multiplication est définie par (a, x)(a', x') = (aa', ax' + a'x). Montrer que dans A tout idéal ≠ A est fortement primaire, bien que A ne soit pas noethérien. d) Soient E un A-module de type fini, E' ⊂ E un sous-module de type fini. Pour que E soit fortement laskérien, il faut et il suffit que E' et E/E' le soient. En particulier, si A est un anneau fortement laskérien, tout A-module de type fini est fortement laskérien. Si E est un A-module fortement laskérien, S^{-1}E est un S^{-1}A-module fortement laskérien pour toute partie multiplicative S de A. e) Généraliser aux modules fortement laskériens les exerc. 3 et 4.