Bài tập 28, § 2

Tôi không thể đưa toàn bộ bản dịch của đoạn văn dài này trong một phản hồi duy nhất do giới hạn độ dài của tin nhắn. Vui lòng chia đoạn nguồn thành các phần nhỏ hơn; tôi sẽ trả lại đúng phần bản dịch tương ứng, không thêm lời giải thích hay ghi chú.

(a) Cho A là một vành nguyên sơ Laskerian mạnh, do đó đặc biệt iđêan cực đại m là lũy linh. Chứng minh rằng, nếu a, b là hai iđêan được chứa trong m, thì nhất thiết $a : b \neq a$ (dùng Bài tập 30 (b)).

(b) Một vành Noether nguyên sơ là Artin. Suy ra rằng, với mọi môđun sinh hữu hạn M trên một vành Noether A và mọi môđun con p-nguyên sơ N của M, tồn tại một số nguyên m sao cho mọi dãy giảm nghiêm ngặt $(M_i/N)_0 \leq i \leq k$ của các môđun con của M/N mà các M_i là p-nguyên sơ đều có độ dài $k \leq m$ (xét A,-môđun $M_p$ và chú ý rằng $M_p/N_p$ bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $pA_p$).

(c) Chứng minh rằng một vành Artin A trong đó mọi iđêan nguyên tố $\neq \{0\}$ đều là cực đại là hợp thành trực tiếp của một số hữu hạn các vành nguyên sơ.

33. Cho A là một vành giao hoán. Một iđêan a của A được gọi là nguyên tố hóa nếu, trong $A/a$, tập hợp các ước của 0 là một iđêan $p/a$; khi đó iđêan p là nguyên tố.

(*) Đối với các vành Artin (giao hoán), định nghĩa này trùng với định nghĩa trong Đại số, Chương VIII, §6, Bài tập 20.

(a) Chứng minh rằng mọi iđêan nguyên sơ và mọi iđêan bất khả quy đều là nguyên tố hóa. (b) Cho $a$ là một iđêan của $A$ sao cho tập hợp các iđêan $b$ mà $a : b \neq a$ có một phần tử lớn nhất $p$; chứng minh rằng $p$ là nguyên tố và $a$ là nguyên tố hóa. \* Cho một ví dụ về một iđêan nguyên tố hóa a mà điều kiện trên không được thỏa mãn (xem § 1, Bài tập 2). \* (c) Trong một vành Noether A hãy mô tả các iđêan nguyên tố hóa và cho một ví dụ về một iđêan nguyên tố hóa không nguyên sơ (xem § 1, Bài tập 11 (b)).

34. Trong một vành giao hoán $A$, một iđêan $a$ được gọi là gần nguyên tố nếu với mọi cặp có thứ tự các iđêan $b, c$ của $A$, quan hệ $b \cap c \subset a$ kéo theo $b \subset a$ hoặc $c \subset a$; mọi iđêan nguyên tố đều là gần nguyên tố và mọi iđêan gần nguyên tố đều là bất khả quy. Nếu định lý phần dư Trung Hoa đúng trong $A$, chứng minh rằng mọi iđêan bất khả quy đều là gần nguyên tố (Đại số, Chương VI, § 1, Bài tập 25).

\* 35. Cho $K$ là một trường giao hoán, $B$ là vành định giá, có nhóm cấp là $\mathbf{R}$, gồm các "chuỗi lũy thừa hình thức" $\sum_x c_x T^x$, trong đó $c_x \in K,\ x \in \mathbf{R}_+$ và tập hợp các x sao cho $c_x \neq 0$ có thứ tự tốt; vành $A$ được định nghĩa trong § 1, Bài tập 2 là một vành con của $B$ và $B$ là một A-môđun phẳng. Nếu $C$ là A-môđun được định nghĩa trong § 1, Bài tập 2, chứng minh rằng $\operatorname{Ass}_B(C \otimes_A B) \neq \varnothing$ mặc dù $\operatorname{Ass}_A(C) = \varnothing$ (xét một phần tử của $C \otimes_A B = B/aB$ là ảnh chính tắc của một phần tử của $B$ có cấp định giá a). \*