Exercice 32, § 2

On dit qu’un anneau $A$ est primaire s’il est un anneau local et si son idéal maximal $m$ est un nilidéal (*). Tout idéal de $A$ contenu dans $m$ est alors $m$-primaire dans $A$.

a) Soit $A$ un anneau primaire fortement laskérien, de sorte qu’en

(*) Pour les anneaux artiniens (commutatifs), cette définition coïncide avec celle d’Alg., chap. VIII, § 6, exerc. 20.

particulier l'idéal maximal m est nilpotent. Montrer que si a, b sont deux idéaux contenus dans m, on a nécessairement a : b ≠ a (utiliser l'exerc. 30 b)).

b) Un anneau noethérien primaire est artinien. En déduire que pour tout module M de type fini sur un anneau noethérien Λ et tout sous-module p-primaire N de M, il existe un entier m tel que toute suite strictement décroissante (M_i/N)_{0 \leq i \leq k} de sous-modules de M/N, pour laquelle les M_i sont p-primaires, a une longueur k ≤ m (considérer le A_p-module M_p et noter que M_p/N_p est annulé par une puissance de pA_p).

c) Montrer qu'un anneau artinien A dans lequel tout idéal premier ≠ {0} est maximal est composé direct d'un nombre fini d'anneaux primaires.