Bài tập 32, § 2

Một vành $A$ được gọi là nguyên sơ nếu nó là một vành địa phương và nếu iđêan cực đại $m$ của nó là một iđêan lũy linh (*). Mọi iđêan của $A$ được chứa trong $m$ khi đó đều là $m$-nguyên sơ trong $A$.

a) Cho $A$ là một vành nguyên sơ Laskerian mạnh, sao cho đặc biệt iđêan cực đại m là lũy linh. Chứng minh rằng nếu a, b là hai iđêan được chứa trong m, thì một trong hai trường hợp nhất thiết có a : b ≠ a (dùng bài tập 30 b)).

(*) Đối với các vành Artin (giao hoán), định nghĩa này trùng với định nghĩa trong Alg., chương VIII, § 6, bài tập 20.

b) Một vành nguyên sơ Noether là Artin. Suy ra rằng đối với mọi môđun M kiểu hữu hạn trên một vành Noether Λ và mọi môđun con p-nguyên sơ N của M, tồn tại một số nguyên m sao cho mọi dãy giảm nghiêm ngặt (M_i/N)_{0 \leq i \leq k} của các môđun con của M/N, trong đó các M_i là p-nguyên sơ, có độ dài k ≤ m (xét A_p-môđun M_p và chú ý rằng M_p/N_p bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của pA_p).

c) Chứng minh rằng một vành Artin A trong đó mọi iđêan nguyên tố ≠ {0} đều là cực đại là một tích trực tiếp của một số hữu hạn các vành nguyên sơ.