Exercice 33, § 2

Soit A un anneau commutatif. On dit qu'un idéal a de A est primal si, dans A/a, l'ensemble des diviseurs de 0 est un idéal p/a ; l'idéal p est alors premier.

a) Montrer que tout idéal primaire et tout idéal irréductible est primal.

b) Soit a un idéal de A tel que l'ensemble des idéaux b pour lesquels a : b ≠ a ait un plus grand élément p ; montrer que p est premier et que a est primal. Donner un exemple d'idéal primal a pour lequel la condition précédente n'est pas remplie (cf. § 1, exerc. 2).

c) Dans un anneau noethérien A, caractériser les idéaux primaux, et donner un exemple d'idéal primal non primaire (cf. § 1, exerc. 11 b)).