Exercice 8, § 2

Soient A un anneau noethérien, E un A-module de type fini, F un sous-module de E, $m$ un idéal de A. Soit $F = \bigcap_{p \in \operatorname{Ass}(E/F)} Q(p)$ une décomposition primaire réduite de F dans E. Montrer que l’adhérence de F dans E pour la topologie $m$-adique sur E est égale à $\bigcap_{p \in \Phi} Q(p)$, où $\Phi$ est l’ensemble des $p \in \operatorname{Ass}(E/F)$ tels que $p + m \neq A$. (Considérer d’abord le cas où F est $p$-primaire dans E, et montrer que si $p + m = A$, F est dense dans E; passer au cas général en utilisant l’exerc. 15 du § 1 et le chap. III, § 3, no 4, cor. 1 du th. 3).