Bài tập 8, § 2

Cho $A$ là một vành Noether, $E$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn, $F$ là một môđun con của $E$ và $m$ là một iđêan của $A$. Giả sử $F = \bigcap_{p \in \operatorname{Ass}(E/F)} Q(p)$ là một phân tích nguyên sơ rút gọn của $F$ trong $E$. Chứng minh rằng bao đóng của $F$ trong $E$ đối với tôpô $m$-adic trên $E$ bằng $\bigcap_{p \in \Phi} Q(p)$, trong đó $\Phi$ là tập hợp các $p \in \operatorname{Ass}(E/F)$ sao cho $p + m \neq A$. (Trước hết xét trường hợp $F$ là $p$-nguyên sơ trong $E$ và chứng minh rằng, nếu $p + m = A$, thì $F$ là trù mật trong $E$; sau đó suy ra trường hợp tổng quát bằng cách sử dụng Bài tập 15 của § 1 và Chương 111, § 3, no. 4, Hệ quả 1 của Định lý 3).