Exercice 13, § 1

Soit A un anneau de caractéristique $p$. La filtration de $W(A)$ par les idéaux $V_n(A)$ est compatible à la structure d’anneau de $W(A)$ et on note $\mathrm{gr}_V(W(A))$ l’anneau gradué associé. Pour tout entier $n \geq 0$, on notera $\varphi^n_*A$ l’anneau A muni de la structure de A-algèbre donnée par l’homomorphisme $\varphi^n : A \to A$, où $\varphi$ désigne l’élévation à la puissance $p$-ième. Prouver que, pour tout entier $n \geq 0$, l’application de A dans $V_n(A)/V_{n+1}(A)$ qui à $x \in A$ associe la classe de $V^n \tau(x)$, est un isomorphisme du A-module $\varphi^n_*A$ sur le A-module $\mathrm{gr}_V^n(W(A))$. Munissons le A-module $\bigoplus_{n \in \mathbf{N}} \varphi^n_*A$ de la structure d’anneau gradué donnée par les applications $(x, y) \mapsto \varphi^n x \cdot \varphi^m y$ de $\varphi^m_*A \times \varphi^n_*A$ dans $\varphi^{m+n}_*A$ (pour tout couple d’entiers positifs $(m, n)$). Montrer que les isomorphismes précédents définissent un isomorphisme de A-algèbres graduées de $\bigoplus_{n \in \mathbf{N}} \varphi^n_*A$ sur $\mathrm{gr}_V(W(A))$.