Bài tập 13, § 1

Cho A là một vành có đặc số $p$. Lọc của $W(A)$ bởi các iđêan $V_n(A)$ là tương thích với cấu trúc vành của $W(A)$, và $\mathrm{gr}_V(W(A))$ ký hiệu vành phân bậc liên kết. Với mỗi số nguyên $n \geq 0$, ký hiệu $\varphi^n_*A$ là vành A được trang bị cấu trúc của một đại số trên A cho bởi đồng cấu $\varphi^n : A \to A$, trong đó $\varphi$ ký hiệu phép nâng lên lũy thừa $p$-th. Bây giờ chứng minh rằng, với mỗi số nguyên $n \geq 0$, ánh xạ từ A vào $V_n(A)/V_{n+1}(A)$ mà với $x \in A$ liên kết lớp của $V^n \tau(x)$ là một đẳng cấu của A-môđun $\varphi^n_*A$ lên A-môđun $\mathrm{gr}_V^n(W(A))$.

Trang bị cho A-môđun $\bigoplus_{n \in \mathbf{N}} \varphi^n_*A$ cấu trúc của một vành phân bậc cho bởi các ánh xạ $(x, y) \mapsto \varphi^n x \cdot \varphi^m y$ từ $\varphi^m_*A \times \varphi^n_*A$ vào $\varphi^{m+n}_*A$ (với mỗi cặp số nguyên dương $(m, n)$). Bây giờ chứng minh rằng các đẳng cấu trước đó xác định một đẳng cấu của các đại số trên A phân bậc từ $\bigoplus_{n \in \mathbf{N}} \varphi^n_*A$ lên $\mathrm{gr}_V(W(A))$.