Exercice 17, § 1

Soit A l’anneau $\mathbf{Q}[X]$. Soit $\Omega = (\Omega_n)_{n \in \mathbf{N}}$ l’élément de A qui vérifie $\Phi_A(\Omega) = (X, X, ..., X, ...)$. Pour tout élément $a$ de $\mathbf{Z}_p$, posons

a) Pour tout $a \in \mathbf{Z}_p$, et tout entier $n \in \mathbf{N}$, on a $\Omega_n(a) \in \mathbf{Z}_p$.

b) Pour tout $a \in \mathbf{Z}$ et tout entier $n \in \mathbf{N}$, on a $\Omega_n(a) \in \mathbf{Z}$, et, si $a \in \mathbf{N}$, $\Omega(a)$ est l’élément de $W(\mathbf{Z})$ somme de $a$ termes égaux à l’élément unité de $W(\mathbf{Z})$.

c) L’application $a \mapsto \Omega(a)$ définit un homomorphisme de $\mathbf{Z}_p$ dans $W(\mathbf{Z}_p)$ qui, quand on identifie $\mathbf{Z}_p$ avec $W(F_p)$ (§ 1, n° 7, exemple 3), coïncide avec l’homomorphisme $s_{F_p}$ défini dans l’exerc. 15.