Bài tập 17, § 1

Cho A là vành $\mathbf{Q}[X]$. Cho $\Omega = (\Omega_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là phần tử của A sao cho $\Phi_A(\Omega) = (X, X, ..., X, ...)$. Với mọi phần tử $a$ của $\mathbf{Z}_p$, đặt

a) Với mọi $a \in \mathbf{Z}_p$, và mọi số nguyên $n \in \mathbf{N}$, ta có $\Omega_n(a) \in \mathbf{Z}_p$.

b) Với mọi $a \in \mathbf{Z}$ và mọi số nguyên $n \in \mathbf{N}$, ta có $\Omega_n(a) \in \mathbf{Z}$, và, nếu $a \in \mathbf{N}$, $\Omega(a)$ là phần tử của $W(\mathbf{Z})$ bằng tổng của $a$ số hạng, mỗi số hạng bằng phần tử đơn vị của $W(\mathbf{Z})$.

c) Ánh xạ $a \mapsto \Omega(a)$ xác định một đồng cấu của $\mathbf{Z}_p$ vào $W(\mathbf{Z}_p)$ mà, khi $\mathbf{Z}_p$ được đồng nhất với $W(F_p)$ (§ 1, No. 7, Ví dụ 3), trùng với đồng cấu $s_{F_p}$ được xác định trong Bài tập 15.