Bourbaki

Exercice 2, § 1

Algèbre commutative, IX, p. 42

Notons AA l’anneau Z[(Xn)n∈N,(Yn)n∈N]\mathbf{Z}[(X_n)_{n \in \mathbf{N}}, (Y_n)_{n \in \mathbf{N}}] des polynômes en les deux familles d’indéterminées (Xn)(X_n) et (Yn)(Y_n), et BB l’anneau Z[X,Y]\mathbf{Z}[X, Y] des polynômes en deux indéterminées XX et YY. Pour tout polynôme RR de BB, il existe une suite unique de polynômes (Rn)n∈N(R_n)_{n \in \mathbf{N}} de AA telle que l’on ait, pour tout n∈Nn \in \mathbf{N},

R(Φn(X0,...,Xn),Φn(Y0,...,Yn))=Φn(R0,...,Rn). R(\Phi_n(X_0, ..., X_n), \Phi_n(Y_0, ..., Y_n)) = \Phi_n(R_0, ..., R_n).

On a R0=R(X0,Y0)R_0 = R(X_0, Y_0) et RnR_n ne dépend pas des XiX_i et YiY_i pour i>ni > n. Si RR est homogène de degré rr par rapport à XX (resp. YY, resp. (X,Y)(X, Y)) et qu’on attribue pour tout i∈Ni \in \mathbf{N}, le poids pip^i à XiX_i et YiY_i, alors RnR_n est isobare de poids rpnrp^n par rapport à (Xi)i∈N(X_i)_{i \in \mathbf{N}} (resp. (Yi)i∈N(Y_i)_{i \in \mathbf{N}}, resp. ((Xi)i∈N,(Yi)i∈N)((X_i)_{i \in \mathbf{N}}, (Y_i)_{i \in \mathbf{N}})). Si RR est constant, RnR_n est constant. Examiner les cas R=0,1,−1,X+Y,XY,−XR = 0, 1, -1, X + Y, XY, -X.

Solution

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Transcrit du volume imprimé. Non traduit.