Bourbaki

Bài tập 2, § 1

Đại số giao hoán, IX, p. 42

Cho AA ký hiệu vành Z[(Xn)n∈N,(Yn)n∈N]\mathbf{Z}[(X_n)_{n \in \mathbf{N}}, (Y_n)_{n \in \mathbf{N}}] các đa thức theo hai họ bất định (Xn)(X_n) và (Yn)(Y_n), và BB là vành Z[X,Y]\mathbf{Z}[X, Y] các đa thức theo hai bất định XX và YY. Với mọi đa thức RR của BB, tồn tại duy nhất một dãy các đa thức (Rn)n∈N(R_n)_{n \in \mathbf{N}} của AA sao cho, với mọi n∈Nn \in \mathbf{N}, ta có

R(Φn(X0,...,Xn),Φn(Y0,...,Yn))=Φn(R0,...,Rn). R(\Phi_n(X_0, ..., X_n), \Phi_n(Y_0, ..., Y_n)) = \Phi_n(R_0, ..., R_n).

Ta có R0=R(X0,Y0)R_0 = R(X_0, Y_0) và RnR_n không phụ thuộc vào các XiX_i và YiY_i với i>ni > n. Nếu RR thuần nhất bậc rr đối với XX (tương ứng YY, tương ứng (X,Y)(X, Y)) và nếu với mỗi i∈Ni \in \mathbf{N} ta gán trọng số pip^i cho XiX_i và YiY_i, thì RnR_n là đẳng trọng có trọng số rpnrp^n đối với (Xi)i∈N(X_i)_{i \in \mathbf{N}} (tương ứng (Yi)i∈N(Y_i)_{i \in \mathbf{N}}, tương ứng ((Xi)i∈N,(Yi)i∈N)((X_i)_{i \in \mathbf{N}}, (Y_i)_{i \in \mathbf{N}})). Nếu RR là hằng, RnR_n là hằng. Xét các trường hợp R=0,1,−1,X+Y,XY,−XR = 0, 1, -1, X + Y, XY, -X.

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.

Bản dịch máy từ tiếng Anh, bởi gpt-5-6-mini. Chưa được người kiểm tra. Mô hình này là bản rút gọn của mô hình đã viết phần còn lại của ngôn ngữ này.