Exercice 20, § 1

Conservons les hypothèses et notations de l’exercice précédent.

a) Pour chaque extension L de K dans $\Omega$, considérons le $\mathbf{Z}_p$-module

et pour chaque entier $n \geqslant 0$ son sous-module

Prouver que $\mathscr{W}(L)$ s’identifie à la limite inductive de ses sous-modules $\mathscr{W}_n(L)$ selon les applications d’inclusion

b) Pour tout entier $n \geqslant 0$, soit $\psi_n$ l’application de $\mathscr{W}_n(L)$ dans $W_n(L)/\mathfrak{p} W_n(L)$ qui à $x \otimes p^{-n}$ associe la classe de $x$. Prouver que $\psi_n$ est un isomorphisme et qu’on a

où $V_n$ est l’application de $W_n(L)/\mathfrak{p} W_n(L)$ dans $W_{n+1}(L)/\mathfrak{p} W_{n+1}(L)$ induite par le décalage V. En déduire que $\mathscr{W}(L)$ s’identifie à la limite inductive des groupes $W_n(L)/\mathfrak{p} W_n(L)$ selon les applications $V_n$.

c) Soit $a \in \mathscr{W}(K)$. Si $n$ est un entier tel que $a$ appartienne à $\mathscr{W}_n(K)$, on a construit à l’exerc. 19, c) l’extension $K(p^{-1}(\psi_n(a)))$. Cette extension ne dépend pas du choix de l’entier $n$; on la note $K(p^{-1}(a))$. Si $A$ est une partie de $\mathscr{W}(K)$, on notera $K(p^{-1}(A))$ l’extension engendrée par les corps $K(p^{-1}(a))$ pour $a$ parcourant $A$. Prouver que $K(p^{-1}(A))$ est une extension abélienne de $K$. Prouver dans cette situation des assertions analogues aux assertions (i) à (iv) de l’exerc. 19, c).