Bài tập 20, § 1

Giữ lại các giả thiết và ký hiệu của bài tập trước.

a) Với mỗi mở rộng $L$ của $K$ trong $\Omega$, xét $\mathbf{Z}_p$-môđun

và, với mỗi số nguyên $n \geqslant 0$, môđun con của nó

Chứng minh rằng $\mathscr{W}(L)$ có thể được đồng nhất với giới hạn quy nạp của các môđun con $\mathscr{W}_n(L)$ của nó đối với các ánh xạ bao hàm

b) Với mỗi số nguyên $n \geqslant 0$, gọi $\psi_n$ là ánh xạ từ $\mathscr{W}_n(L)$ vào $W_n(L)/\mathfrak{p} W_n(L)$ gán cho $x \otimes p^{-n}$ lớp của $x$. Chứng minh rằng $\psi_n$ là một đẳng cấu và ta có

trong đó $V_n$ là ánh xạ từ $W_n(L)/\mathfrak{p} W_n(L)$ vào $W_{n+1}(L)/\mathfrak{p} W_{n+1}(L)$ cảm sinh bởi phép dịch $V$. Suy ra rằng $\mathscr{W}(L)$ có thể được đồng nhất với giới hạn quy nạp của các nhóm $W_n(L)/\mathfrak{p} W_n(L)$ đối với các ánh xạ $V_n$.

c) Cho $a \in \mathscr{W}(K)$. Nếu $n$ là một số nguyên sao cho $a$ thuộc về $\mathscr{W}_n(K)$, mở rộng $K(p^{-1}(\psi_n(a)))$ đã được xây dựng trong Bài tập 19, c). Mở rộng này không phụ thuộc vào việc lựa chọn số nguyên $n$; nó được ký hiệu là $K(p^{-1}(a))$. Nếu $A$ là một tập con của $\mathscr{W}(K)$, ta ký hiệu $K(p^{-1}(A))$ là mở rộng sinh bởi các trường $K(p^{-1}(a))$ với $a$ chạy qua $A$. Chứng minh rằng $K(p^{-1}(A))$ là một mở rộng Abel của $K$. Chứng minh, trong trường hợp này, các khẳng định tương tự với các khẳng định (i) đến (iv) của Bài tập 19, c).