Exercice 26, § 1

Soit M l’ensemble des nombres rationnels positifs dont le dénominateur est une puissance de $p$, muni de la structure de monoïde donnée par l’addition. Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $p$. On munit $W(k)$ et son corps de fractions K de la topologie donnée par la valuation de $W(k)$. Soit $n$ un entier positif. Soit C l’algèbre sur K du monoïde produit $M^n$. Pour $1 \leqslant i \leqslant n$, on notera $T_i$ l’image dans C de l’élément de M ayant pour $i$-ième composante 1 et pour autres composantes 0, et pour $\alpha \in M^n$ on notera $T^\alpha$ l’image de $\alpha$. Pour $\alpha \in M^n$, on posera

où $w_p$ désigne la valuation $p$-adique de $\mathbf{Q}$. On note A l’anneau $k[T_1, ..., T_n]$, B l’anneau $W(k)[T_1, ..., T_n]$, $\overline{B}$ l’algèbre de $M^n$ sur $W(k)$, $\overline{A}$ l’algèbre de $M^n$ sur $k$. On considère A comme un sous-anneau de $\overline{A}$, B comme un sous-anneau de $\overline{B}$, $\overline{B}$ comme un sous-anneau de C. Soit E l’ensemble des éléments de C de la forme $\sum_{\alpha \in M^n} \operatorname{den}(\alpha) a_\alpha T^\alpha$ où la famille à support fini $(a_\alpha)$ est formée d’éléments de $W(k)$. Soient F l’automorphisme de C coïncidant avec l’automorphisme de Frobenius sur $W(k)$ et vérifiant $F(T_i^\alpha) = T_i^{p^\alpha}$ pour tout $i (1 \leqslant i \leqslant n)$ et tout $\alpha \in M$, et V l’automorphisme du groupe additif de C défini par $V = pF^{-1}$. a) E est un sous-anneau de C, contenant B et stable par F et V. b) E est un $W(k)$-module, et est somme de ses sous-modules $V^iB$, pour $i \in \mathbf{N}$. c) On a $\bigcap_{i \in \mathbf{N}} V^iE = 0$. d) Pour tout $i \in \mathbf{N}$, on a $B \cap V^iE = p^iB$.

e) Notons $\rho : \overline{B} \to \overline{A}$ l’application obtenue en réduisant les coefficients des éléments de $M^n$ modulo $pW(k)$. Alors on a $\rho(E) = A$, et $\rho$ induit un isomorphisme $\rho'$ de $E/VE$ sur $A$. f) Pour tout entier $r \geqslant 0$, $V^rE/V^{r+1}E$ est un module sur $E/VE$. Par ${\rho'}^{-1}$, on peut le considérer comme un $A$-module. L’application de $A$ dans $V^rE/V^{r+1}E$, qui à $a \in A$ associe la classe de $V^r e$, pour tout élément $e \in E$ vérifiant $\rho(e) = a$, est un isomorphisme du $A$-module $\varphi'_*A$ (p. 44, exerc. 13) sur le $A$-module $V^rE/V^{r+1}E$. g) Il existe un unique homomorphisme de $W(k)$-algèbres $\sigma : \overline{B} \to W(\overline{A})$ tel que pour $1 \leqslant i \leqslant n$ et $r \in M$, on ait $\sigma(T_i^r) = \tau_{\overline{A}}(T_i^r)$. On a $\sigma \circ F = F_{\overline{A}}$ et $\sigma \circ V = V_{\overline{A}} \circ \sigma$ (s’inspirer de l’exerc. 14, p. 44). h) L’homomorphisme $\sigma$ induit un homomorphisme de $W(k)$-algèbres $\tilde{\sigma} : E \to W(A)$, qui est le seul $W(k)$-homomorphisme de $E$ dans $W(A)$ vérifiant $\tilde{\sigma}(T_i) = \tau_A(T_i)$ pour $1 \leqslant i \leqslant n$ et $\tilde{\sigma} \circ V = V_A \circ \tilde{\sigma}$. i) Pour tout entier $r \geqslant 1$, $\tilde{\sigma}$ induit un isomorphisme de $E/V^rE$ et $W_r(A)$ (utiliser l’exerc. 13, p. 44); $\tilde{\sigma}$ est injectif. j) Soit $\hat{C}$ le complété de $C$ pour la topologie $p$-adique. Pour tout $x \in \hat{C}$, il existe une unique famille $(a_\alpha)_{\alpha \in M^n}$ d’éléments de $K$, telle que $a_\alpha$ tende vers 0 quand $\alpha$ tend vers l’infini suivant le filtre des complémentaires des parties finies de $M^n$, et que $x$ soit la somme de la famille $a_\alpha T^\alpha$. k) Soit $\hat{E}$ l’ensemble des éléments $x = \sum_{\alpha \in M^n} \mathrm{den}(\alpha) \alpha_\alpha T^\alpha$ de $\hat{C}$ tels qu’on ait $a_\alpha \in W(k)$ pour tout $\alpha \in M^n$. Prouver que $\tilde{\sigma} : E \to W(A)$ se prolonge en un isomorphisme de $\hat{E}$ sur $W(A)$.