Bài tập 26, § 1

Cho M là tập hợp các số hữu tỉ dương mà mẫu số là một lũy thừa của $p$, được trang bị cấu trúc nửa nhóm cộng. Cho $k$ là một trường hoàn hảo có đặc số $p$. Ta trang bị cho $W(k)$ và trường phân thức K của nó tôpô được cho bởi định giá của $W(k)$. Cho $n$ là một số nguyên dương. Cho C là đại số trên K của monoid tích $M^n$. Với $1 \leqslant i \leqslant n$, ta sẽ ký hiệu bởi $T_i$ ảnh trong C của phần tử của M mà thành phần thứ $i$ là 1 và các thành phần khác là 0, và với $\alpha \in M^n$ ta sẽ ký hiệu bởi $T^\alpha$ ảnh của $\alpha$. Với $\alpha \in M^n$, ta đặt

trong đó $w_p$ ký hiệu định giá $p$-adic của $\mathbf{Q}$. Ta ký hiệu bởi A vành $k[T_1, ..., T_n]$, bởi B vành $W(k)[T_1, ..., T_n]$, bởi $\overline{B}$ đại số của $M^n$ trên $W(k)$, và bởi $\overline{A}$ đại số của $M^n$ trên $k$. Ta xem A như một vành con của $\overline{A}$, B như một vành con của $\overline{B}$, và $\overline{B}$ như một vành con của C.

Cho E là tập hợp các phần tử của C có dạng $\sum_{\alpha \in M^n} \operatorname{den}(\alpha) a_\alpha T^\alpha$ trong đó họ có giá hữu hạn $(a_\alpha)$ gồm các phần tử của $W(k)$.

Cho F là tự đẳng cấu của C trùng với tự đẳng cấu Frobenius trên $W(k)$ và thỏa mãn $F(T_i^\alpha) = T_i^{p^\alpha}$ với mọi $i (1 \leqslant i \leqslant n)$ và mọi $\alpha \in M$, và cho V là tự đẳng cấu của nhóm cộng của C được xác định bởi $V = pF^{-1}$. a) E là một vành con của C, chứa B và ổn định đối với F và V. b) E là một $W(k)$-môđun, và là tổng của các môđun con $V^iB$ của nó, với $i \in \mathbf{N}$. c) Ta có $\bigcap_{i \in \mathbf{N}} V^iE = 0$. d) Với mọi $i \in \mathbf{N}$, ta có $B \cap V^iE = p^iB$.

e) Gọi $\rho : \overline{B} \to \overline{A}$ là ánh xạ thu được bằng cách giảm các hệ số của các phần tử của $M^n$ modulo $pW(k)$. Khi đó $\rho(E) = A$, và $\rho$ cảm sinh một đẳng cấu $\rho'$ của $E/VE$ lên $A$. f) Với mọi số nguyên $r \geqslant 0$, $V^rE/V^{r+1}E$ là một môđun trên $E/VE$. Nhờ ${\rho'}^{-1}$, nó có thể được xem như một $A$-môđun. Ánh xạ từ $A$ vào $V^rE/V^{r+1}E$, ánh xạ mà với $a \in A$ gán lớp của $V^r e$, với mọi phần tử $e \in E$ thỏa mãn $\rho(e) = a$, là một đẳng cấu của $A$-môđun $\varphi'_*A$ (p. 44, Bài tập 13) lên $A$-môđun $V^rE/V^{r+1}E$. g) Tồn tại một đồng cấu duy nhất của các $W(k)$-đại số $\sigma : \overline{B} \to W(\overline{A})$ sao cho với $1 \leqslant i \leqslant n$ và $r \in M$, ta có $\sigma(T_i^r) = \tau_{\overline{A}}(T_i^r)$. Ta có $\sigma \circ F = F_{\overline{A}}$ và $\sigma \circ V = V_{\overline{A}} \circ \sigma$ (lấy Bài tập 14, p. 44, làm mẫu). h) Đồng cấu $\sigma$ cảm sinh một đồng cấu của các $W(k)$-đại số $\tilde{\sigma} : E \to W(A)$, đây là đồng cấu $W(k)$ duy nhất của $E$ vào $W(A)$ thỏa mãn $\tilde{\sigma}(T_i) = \tau_A(T_i)$ với $1 \leqslant i \leqslant n$ và $\tilde{\sigma} \circ V = V_A \circ \tilde{\sigma}$. i) Với mọi số nguyên $r \geqslant 1$, $\tilde{\sigma}$ cảm sinh một đẳng cấu của $E/V^rE$ lên $W_r(A)$ (dùng Bài tập 13, p. 44); $\tilde{\sigma}$ là đơn ánh. j) Gọi $\hat{C}$ là bao hoàn thành của $C$ đối với tôpô $p$-adic. Với mọi $x \in \hat{C}$, tồn tại một họ duy nhất $(a_\alpha)_{\alpha \in M^n}$ gồm các phần tử của $K$, sao cho $a_\alpha$ tiến về 0 khi $\alpha$ tiến ra vô hạn dọc theo bộ lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của $M^n$, và $x$ là tổng của họ $a_\alpha T^\alpha$. k) Gọi $\hat{E}$ là tập hợp các phần tử $x = \sum_{\alpha \in M^n} \mathrm{den}(\alpha) \alpha_\alpha T^\alpha$ của $\hat{C}$ sao cho $a_\alpha \in W(k)$ với mọi $\alpha \in M^n$. Chứng minh rằng $\tilde{\sigma} : E \to W(A)$ mở rộng thành một đẳng cấu của $\hat{E}$ lên $W(A)$.