Exercice 31, § 1

Soit $A$ un anneau. Soit $n \in J$. Soit $(a_d)_{d \in J_n - \{n\}}$ une famille d’éléments de $A$. Posons $u_d = \Phi_d((a_e)_{e \in J_d})$ pour $d \in J_n - \{n\}$, et soit $u_n$ un élément de $A$. Pour tout nombre premier $p \in J_n$, supposons donné de plus un endomorphisme $\sigma_p$ de $A$ tel que $\sigma_p(a) \equiv a^p \mod. pA$ pour tout $a \in A$. Alors les conditions suivantes sont équivalentes : a) Il existe un élément $a_n$ de $A$ tel que $u_n = \Phi_n((a_d)_{d \in J_n})$. b) Pour tout nombre premier $p \in J_n$, on a $u_n \equiv \sigma_p(u_{n/p}) \mod. p^{w_p(n)}A$.