Exercice 34, § 1

Soit $R = \mathbf{Z}[X, Y]$ la $\mathbf{Z}$-algèbre des polynômes en deux familles d’indéterminées $X = (X_n)_{n \in J}$ et $Y = (Y_n)_{n \in J}$. Pour tout nombre premier $p$, soit $\sigma_p$ l’endomorphisme de $R$ défini par $\sigma_p(X_n) = X_n^p$ et $\sigma_p(Y_n) = Y_n^p$ pour tout $n \in J$; on a alors $\sigma_p(a) \equiv a^p \mod. pR$ pour tout $a \in R$. De plus, $R$ est sans $\mathbf{Z}$-torsion. a) Il existe dans $R^J$ des éléments $S = (S_n)_{n \in J}$, $P = (P_n)_{n \in J}$, $I = (I_n)_{n \in J}$, et, pour tout $q \in J$, $F_q = (F_{q,n})_{n \in J}$ et $V_q = (V_{q,n})_{n \in J}$, caractérisés respectivement par les égalités

(En plongeant R dans Q $\otimes$ R, on a, avec les notations de l’exerc. 33,

) b) Pour tout $n \in J$, affectons $X_n$ et $Y_n$ du poids $n$. Alors $S_n, P_n$ et $I_n$ ne dépendent que des familles $(X_d)_{d \in J_n}$ et $(Y_d)_{d \in J_n}$. De plus : $\alpha)$ $S_n$ est isobare de poids $n$. $\beta)$ $P_n$ est isobare de poids $2n$, et isobare de poids $n$ en chacune des familles $(X_d)_{d \in J_n}$ et $(Y_d)_{d \in J_n}$. $\gamma)$ $I_n$ est isobare de poids $n$. c) $F_{q,n}$ est isobare de poids $qn$, et ne dépend que de la famille $(X_d)_{d \in J_{qn}}$. d) On a $V_{q,n}(X) = X_{n/q}$, où on convient que $X_{n/q} = 0$ si $n/q \notin J$. (Il suffit de vérifier qu’avec cette définition de $V_q$, on a $v_q(\Phi(X)) = \Phi(V_q(X))$.)