Bài tập 34, § 1

Cho $R = \mathbf{Z}[X, Y]$ là $\mathbf{Z}$-đại số của các đa thức theo hai họ phần tử bất định $X = (X_n)_{n \in J}$ và $Y = (Y_n)_{n \in J}$. Với mọi số nguyên tố $p$, gọi $\sigma_p$ là tự đồng cấu của $R$ được xác định bởi $\sigma_p(X_n) = X_n^p$ và $\sigma_p(Y_n) = Y_n^p$ với mọi $n \in J$; khi đó ta có $\sigma_p(a) \equiv a^p \mod. pR$ với mọi $a \in R$. Ngoài ra, $R$ không xoắn đối với $\mathbf{Z}$. a) Có các phần tử trong $R^J$ $S = (S_n)_{n \in J}$, $P = (P_n)_{n \in J}$, $I = (I_n)_{n \in J}$, và, với mọi $q \in J$, $F_q = (F_{q,n})_{n \in J}$ và $V_q = (V_{q,n})_{n \in J}$, lần lượt được đặc trưng bởi các đẳng thức

(Khi nhúng $R$ vào Q $\otimes$ R, ta có, với ký hiệu của Bài tập 33,

) b) Với mọi $n \in J$, gán trọng số $n$ cho $X_n$ và $Y_n$. Khi đó $S_n, P_n$ và $I_n$ chỉ phụ thuộc vào các họ $(X_d)_{d \in J_n}$ và $(Y_d)_{d \in J_n}$. Hơn nữa: $\alpha)$ $S_n$ là đẳng trọng có trọng số $n$. $\beta)$ $P_n$ là đẳng trọng có trọng số $2n$, và là đẳng trọng có trọng số $n$ trong mỗi họ $(X_d)_{d \in J_n}$ và $(Y_d)_{d \in J_n}$. $\gamma)$ $I_n$ là đẳng trọng có trọng số $n$. c) $F_{q,n}$ là đẳng trọng có trọng số $qn$, và chỉ phụ thuộc vào họ $(X_d)_{d \in J_{qn}}$. d) Ta có $V_{q,n}(X) = X_{n/q}$, trong đó theo quy ước $X_{n/q} = 0$ nếu $n/q \notin J$. (Chỉ cần kiểm tra rằng với định nghĩa này của $V_q$, ta có $v_q(\Phi(X)) = \Phi(V_q(X))$.)