Exercice 38, § 1

Soient $p$ un nombre premier, A un anneau et $a \in U(A)$. a) On a $F_p(a) \equiv a^p \mod. pA^\mathbf{J}$; autrement dit, on a $F_{p,n}(a) \equiv a_n^p \mod. pA$ pour tout $n \in \mathbf{J}$. b) On a $F_p(a) \equiv a^{*p} \mod. p \times U(A)$, où $a^{*p}$ désigne le produit dans U(A) de $p$ termes égaux à $a$, et où $p \times U(A)$ désigne l’idéal de U(A) engendré par $p \times 1_{U(A)}$, somme dans U(A) de $p$ termes égaux à $1_{U(A)}$. (Il suffit de traiter le cas où $A = \mathbf{Z}[X]$ et $a = X$. Alors A est sans $\mathbf{Z}$-torsion et $\Phi : U(A) \to A^\mathbf{J}$ est injectif. Pour a) il suffit (p. 51, exerc. 30, b)) de montrer que, pour tout $n \in \mathbf{J}$, $\Phi_n(F_p(X)) = \Phi_{pn}(X)$ est congru à $\Phi_n(X^p)$ modulo $p^{w_p(pn)}A$, ce qui résulte de l’exerc. 29, p. 51. Pour b) il suffit de montrer que $\Phi(F_p(X)) = f_p(\Phi(X))$ est congru à $\Phi(X^{*p}) = \Phi(X)^p$ modulo $p.\Phi(U(A))$. Or il existe un élément $u \in A^\mathbf{J}$ tel que

et il s’agit de montrer que $u \in \Phi(U(A))$. Pour tout nombre premier $q$, soit $\sigma_q$ l’endomorphisme de l’anneau $A = \mathbf{Z}[X]$ tel que $\sigma_q(X_n) = X_n^q$ pour tout $n \in \mathbf{J}$. D’après l’exerc. 32, p. 51, il suffit de montrer que, pour tout nombre premier $q$ et pour tout $n \in \mathbf{J}$, on a $u_{qn} \equiv \sigma_q(u_n) \mod. q^{w_q(qn)}A$, ce qui équivaut à prouver la congruence suivante (1) Or le terme de droite est égal à $\Phi_{pn}(X^q) - \Phi_n(X^q)^p$. D’après l’exerc. 29, p. 51, on a (2) et (3) Les termes de droite et de gauche de (1) sont tous deux congrus à zéro modulo $pA$ (p. 51, exerc. 29), donc (1) résulte de (2) et (3) si $q \neq p$. Supposons que l’on ait $q = p$. Alors il résulte de (3) et du lemme 1 qu’on a (4) et (1) résulte de (2) et (4).)