Bài tập 38, § 1

Cho $p$ là một số nguyên tố, A là một vành, và $a \in U(A)$. a) Ta có $F_p(a) \equiv a^p \mod. pA^\mathbf{J}$; nói cách khác, ta có $F_{p,n}(a) \equiv a_n^p \mod. pA$ với mọi $n \in \mathbf{J}$. b) Ta có $F_p(a) \equiv a^{*p} \mod. p \times U(A)$, trong đó $a^{*p}$ chỉ tích trong U(A) của $p$ số hạng bằng $a$, và trong đó $p \times U(A)$ chỉ iđêan của U(A) sinh bởi $p \times 1_{U(A)}$, tổng trong U(A) của $p$ số hạng bằng $1$. (Chỉ cần xét trường hợp $A = \mathbf{Z}[X]$ và $a = X$. Khi đó A không có $\mathbf{Z}$-xoắn và $\Phi : U(A) \to A^\mathbf{J}$ là đơn ánh. Đối với a), chỉ cần (p. 51, Bài tập 30, b)) chứng minh rằng, với mọi $n \in \mathbf{J}$, $\Phi_n(F_p(X)) = \Phi_{pn}(X)$ là đồng dư với $\Phi_n(X^p)$ modulo $p^{w_p(pn)}A$, điều này suy ra từ Bài tập 29, p. 51. Đối với b), chỉ cần chứng minh rằng $\Phi(F_p(X)) = f_p(\Phi(X))$ là đồng dư với $\Phi(X^{*p}) = \Phi(X)^p$ modulo $p.\Phi(U(A))$. Bây giờ tồn tại một phần tử $u \in A^\mathbf{J}$ sao cho

và vấn đề là chứng minh rằng $u \in \Phi(U(A))$. Với mỗi số nguyên tố $q$, gọi $\sigma_q$ là tự đồng cấu của vành $A = \mathbf{Z}[X]$ sao cho $\sigma_q(X_n) = X_n^q$ với mọi $n \in \mathbf{J}$. Theo Bài tập 32, p. 51, chỉ cần chứng minh rằng, với mọi số nguyên tố $q$ và với mọi $n \in \mathbf{J}$, ta có $u_{qn} \equiv \sigma_q(u_n) \mod. q^{w_q(qn)}A$, điều này tương đương với việc chứng minh đồng dư thức sau (1) Bây giờ số hạng bên phải bằng $\Phi_{pn}(X^q) - \Phi_n(X^q)^p$. Theo Bài tập 29, p. 51, ta có (2) và (3) Các số hạng bên phải và bên trái của (1) đều đồng dư với không modulo $pA$ (p. 51, Bài tập 29), do đó (1) suy ra từ (2) và (3) nếu $q \neq p$. Giả sử rằng ta có $q = p$. Khi đó từ (3) và Bổ đề 1 ta suy ra rằng ta có (4) và (1) suy ra từ (2) và (4).)