Bourbaki

Exercice 4, § 1

Algèbre commutative, IX, p. 42

Soient AA un anneau, a=(an)n∈Na = (a_n)_{n \in \mathbf{N}} un élément de W(A)W(A), a(p)a^{(p)} l’élément (anp)n∈N(a_n^p)_{n \in \mathbf{N}} de W(A)W(A). Posons

b=(bn)n∈N=p.a−Va(p). b = (b_n)_{n \in \mathbf{N}} = p.a - Va^{(p)}.

Prouver que l’on a bn−pan∈pp−1Ab_n - pa_n \in p^{p-1}A pour tout n∈Nn \in \mathbf{N}. (Se ramener au cas où A=Z[(Xn)n∈N]A = \mathbf{Z}[(X_n)_{n \in \mathbf{N}}] et a=(Xn)n∈Na = (X_n)_{n \in \mathbf{N}} et utiliser la prop. 1 du § 1, n° 1.)

Solution

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Transcrit du volume imprimé. Non traduit.