Exercice 47, § 1

Soit $A$ un anneau. On définit des applications $F_n, V_n (n \in \mathbf{J})$ de $\Lambda(A)$ dans lui-même par les formules

quel que soit $a \in U(A)$.

a) On a $L(F_n(f)) = f_n(L(f))$ et $L(V_n(f)) = v_n(L(f))$ quel que soit $f \in \Lambda(A)$. Soient $n, m$ dans $\mathbf{J}$ et posons $d = \operatorname{pgcd}(n, m)$.

b) Montrer que $F_n$ est un endomorphisme de l’anneau $\Lambda(A)$, et que l’on a $F_n \circ F_m = F_{nm}$. Pour tout nombre premier $p$ et pour tout $f \in \Lambda(A)$, on a $F_p(f) \equiv f^{*p} \mod. p * \Lambda(A)$, où $f^{*p}$ désigne le produit dans l’anneau $\Lambda(A)$ de $p$ termes égaux à $f$, et où $p * \Lambda(A)$ désigne l’idéal principal de $\Lambda(A)$ engendré par la somme dans $\Lambda(A)$ de $p$ termes égaux à l’élément neutre $1 + T$, autrement dit par $(1 + T)^p$.

c) Prouver que $V_n$ est un endomorphisme du groupe additif de $\Lambda(A)$, et que l’on a $V_n \circ V_m = V_{nm}$.

d) Pour tout $f \in \Lambda(A)$, on a $F_n(V_m(f)) = V_{m/d}(F_{n/d}(f))^d$. En particulier $F_n(V_n(f)) = f^n$, et $F_n \circ V_m = V_m \circ F_n$ si $d = 1$.

e) Quels que soient $f, g$ dans $\Lambda(A)$, on a

En particulier, on a et

f) On a

quel que soit $f \in \Lambda(A)$. En particulier pour tout $a \in A$.

g) Pour tout $a \in A$, on a

Pour tout $f \in \Lambda(A)$, on a où $N$ désigne la norme dans l’extension $A[[T^n]] \subset A[[T]]$. (Il suffit de traiter le cas où $f \in A[T]$, puis de plonger $A$ dans un anneau $B$ où $f$ se décompose en produit de facteurs linéaires, auxquels on peut appliquer la première formule.)

Pour tout $a \in A$, on a

(Observer que $1 - a(-T)^m = V_m(1 + aT)$ et utiliser $c$ et $f$.)

h) Quels que soient $a, b \in A$, on a

(Utiliser la première formule de $e$.)