Bài tập 47, § 1

Cho $A$ là một vành. Định nghĩa các ánh xạ $F_n, V_n (n \in \mathbf{J})$ của $\Lambda(A)$ vào chính nó bởi các công thức

với mọi $a \in U(A)$.

a) Có $L(F_n(f)) = f_n(L(f))$ và $L(V_n(f)) = v_n(L(f))$ với mọi $f \in \Lambda(A)$. Cho $n, m$ thuộc $\mathbf{J}$ và đặt $d = \operatorname{pgcd}(n, m)$.

b) Bây giờ chứng minh rằng $F_n$ là một tự đồng cấu của vành $\Lambda(A)$, và có $F_n \circ F_m = F_{nm}$. Với mọi số nguyên tố $p$ và mọi $f \in \Lambda(A)$, có $F_p(f) \equiv f^{*p} \mod. p * \Lambda(A)$, trong đó $f^{*p}$ chỉ tích trong vành $\Lambda(A)$ của $p$ số hạng bằng $f$, và trong đó $p * \Lambda(A)$ chỉ iđêan chính của $\Lambda(A)$ sinh bởi tổng trong $\Lambda(A)$ của $p$ số hạng bằng phần tử đơn vị $1 + T$, nói cách khác bởi $(1 + T)^p$.

c) Chứng minh rằng $V_n$ là một tự đồng cấu của nhóm cộng của $\Lambda(A)$, và có $V_n \circ V_m = V_{nm}$.

d) Với mọi $f \in \Lambda(A)$, có $F_n(V_m(f)) = V_{m/d}(F_{n/d}(f))^d$. Đặc biệt $F_n(V_n(f)) = f^n$, và $F_n \circ V_m = V_m \circ F_n$ nếu $d = 1$.

e) Với mọi $f, g$ trong $\Lambda(A)$, có

Đặc biệt, có và

f) Có

với mọi $f \in \Lambda(A)$. Đặc biệt với mọi $a \in A$.

g) Với mọi $a \in A$, có

Với mọi $f \in \Lambda(A)$, có trong đó $N$ chỉ chuẩn trong mở rộng $A[[T^n]] \subset A[[T]]$. (Chỉ cần xét trường hợp $f \in A[T]$, sau đó nhúng $A$ vào một vành $B$ trong đó $f$ phân tích thành tích của các nhân tử tuyến tính, mà ta có thể áp dụng công thức thứ nhất.)

Với mọi $a \in A$, có

(Chú ý rằng $1 - a(-T)^m = V_m(1 + aT)$ và sử dụng $c$ và $f$.)

h) Với mọi $a, b \in A$, có

(Hãy sử dụng công thức thứ nhất cho $e$.)