Exercice 48, § 1

Soit $A$ un pré-$\lambda$-anneau. Notons $\Psi$ le composé $A \xrightarrow{\lambda} \Lambda(A) \xrightarrow{L} A^J$, de sorte que $\Psi(a) = (\psi_n(a))_{n \in J}$, où

Plus explicitement,

quel que soit $n \in J$. En particulier,

Les applications $\psi_n : A \to A$ s’appellent opérations d’Adams.

Lorsque $(A, \lambda) = (\Lambda(B), \lambda^B)$, $B$ étant un anneau, on écrira aussi $\Psi^B$ pour $\Psi$.

a) Soit $B$ un anneau. Montrer que pour tout $n \in J$, on a

(Utiliser le diagramme commutatif)

!Diagramme commutatif

où toutes les applications horizontales sont bijectives.)

b) Soit $A$ un pré-$\lambda$-anneau. Pour tout $n \in J$, $\psi_n$ est un endomorphisme du groupe additif de $A$, et $\psi_1 = \mathrm{Id}_A$. Si $A$ est un $\lambda$-anneau, $\psi_n$ est un endomorphisme de l’anneau $A$, et $\psi_n \circ \psi_m = \psi_{nm}$ quels que soient $n, m$ dans $J$. De plus, pour tout nombre premier $p$ on a $\psi_p(a) \equiv a^p \mod pA$ quel que soit $a \in A$. (Utiliser l’injectivité de $\lambda : A \to \Lambda(A)$, et les propriétés analogues des $\psi_n^A = F_n$.)

c) Soit $A$ un pré-$\lambda$-anneau dont le groupe additif soit sans $\mathbf{Z}$-torsion. Pour que $A$ soit un $\lambda$-anneau, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites pour tous les entiers $n \geq 2$ et $m \geq 2$ :

(i) $\psi_n(1) = 1$; (ii) $\psi_n(ab) = \psi_n(a) \psi_n(b)$ quels que soient $a, b$ dans $A$; (iii) $\psi_n \circ \psi_m = \psi_{nm}$.

(Puisque $L : \Lambda(A) \to A^J$ est un homomorphisme injectif d’anneaux, $\Psi = L \circ \lambda$ est un homomorphisme d’anneaux si et seulement si $\lambda$ en est un. De même du diagramme

on déduit que

Or $L \circ \lambda = \Psi$ et $L \circ \psi_n^A = L \circ F_n = f_n \circ L$. Donc

d) Soit $A$ un $\lambda$-anneau. Soit $a \in A$ un élément de $\lambda$-rang $\leq 1$ (i.e. $\lambda(a) = 1 + aT$). Alors $\psi_n(a) = a^n$ quel que soit $n \in J$. Si $P$ est une partie multiplicative de $A$ formée d’éléments de $\lambda$-rang $\leq 1$ et si $a_1, ..., a_r$ appartiennent à $P$, on a $\psi_n(a_1 + \cdots + a_r) = a_1^n + \cdots + a_r^n$.

Dans l’algèbre de polynômes $\mathbf{Z}[(X_i)_{i \in I}]$, notons $(s_n)$ les polynômes symétriques élémentaires,

et le $n$-ième polynôme de Newton. Montrer que, quel que soit $a \in A$, on a (Vérifier d’abord cette relation lorsque $a$ est de la forme $a_1 + \cdots + a_r$ comme ci-dessus. Passer de là au cas où $a = 1 + \sum_{h \geq 1} s_h T^h \in \Lambda(\mathbf{Z}[(X_i)_{i \in I}])$. Ensuite déduire le cas général en plongeant $A$ dans le $\lambda$-anneau $\Lambda(A)$ et en utilisant l’homomorphisme $\mathbf{Z}[(s_h)_{h=1,...,n}] \to A$ qui envoie $s_h$ sur $\lambda_h(a)$.)