Bài tập 48, § 1

Cho $A$ là một vành pre-$\lambda$. Gọi $\Psi$ là hợp thành $A \xrightarrow{\lambda} \Lambda(A) \xrightarrow{L} A^J$, sao cho $\Psi(a) = (\psi\_n(a))\_{n \in J}$, trong đó

Một cách tường minh hơn,

với mọi $n \in J$. Đặc biệt,

Các ánh xạ $\psi\_n : A \to A$ được gọi là các phép toán Adams.

Khi $(A, \lambda) = (\Lambda(B), \lambda^B)$, trong đó $B$ là một vành, ta cũng sẽ ký hiệu $\Psi^B$ cho $\Psi$.

a) Cho $B$ là một vành. Chứng minh rằng với mọi $n \in J$, ta có

(Sử dụng biểu đồ giao hoán)

!Biểu đồ giao hoán

trong đó tất cả các ánh xạ ngang đều là song ánh.)

b) Cho $A$ là một vành pre-$\lambda$. Với mọi $n \in J$, $\psi\_n$ là một tự đồng cấu của nhóm cộng của $A$, và $\psi\_1 = \mathrm{Id}\_A$. Nếu $A$ là một vành $\lambda$, $\psi\_n$ là một tự đồng cấu của vành $A$, và $\psi\_n \circ \psi\_m = \psi\_{nm}$ với mọi $n, m$ trong $J$. Hơn nữa, với mọi số nguyên tố $p$ ta có $\psi\_p(a) \equiv a^p \mod pA$ với mọi $a \in A$. (Sử dụng tính đơn ánh của $\lambda : A \to \Lambda(A)$, và các tính chất tương tự của $\psi\_n^A = F\_n$.)

c) Cho $A$ là một vành pre-$\lambda$ có nhóm cộng là $\mathbf{Z}$-không xoắn. Để $A$ là một vành $\lambda$, điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau được thỏa mãn với mọi số nguyên $n \geq 2$ và $m \geq 2$:

(i) $\psi\_n(1) = 1$; (ii) $\psi\_n(ab) = \psi\_n(a) \psi\_n(b)$ với mọi $a, b$ trong $A$; (iii) $\psi\_n \circ \psi\_m = \psi\_{nm}$.

(Vì $L : \Lambda(A) \to A^J$ là một đồng cấu của các vành đơn ánh, $\Psi = L \circ \lambda$ là một đồng cấu của các vành khi và chỉ khi $\lambda$ là một đồng cấu như vậy. Tương tự, từ biểu đồ

suy ra rằng

Bây giờ $L \circ \lambda = \Psi$ và $L \circ \psi\_n^A = L \circ F\_n = f\_n \circ L$. Do đó

d) Cho $A$ là một vành $\lambda$. Cho $a \in A$ là một phần tử có $\lambda$-hạng $\leq 1$ (tức là $\lambda(a) = 1 + aT$). Khi đó $\psi_n(a) = a^n$ với mọi $n \in J$. Nếu $P$ là một tập con nhân của $A$ gồm các phần tử có $\lambda$-hạng $\leq 1$ và nếu $a_1, ..., a_r$ thuộc $P$, ta có $\psi_n(a_1 + \cdots + a_r) = a_1^n + \cdots + a_r^n$.

Trong đại số đa thức $\mathbf{Z}[(X_i)_{i \in I}]$, ký hiệu $(s_n)$ là các đa thức đối xứng sơ cấp,

và là đa thức Newton thứ $n$. Bây giờ chứng minh rằng, với mọi $a \in A$, ta có (Trước hết kiểm tra quan hệ này khi $a$ có dạng $a_1 + \cdots + a_r$ như trên. Từ đó chuyển sang trường hợp $a = 1 + \sum_{h \geq 1} s_h T^h \in \Lambda(\mathbf{Z}[(X_i)_{i \in I}])$. Sau đó suy ra trường hợp tổng quát bằng cách nhúng $A$ vào vành $\lambda$ $\Lambda(A)$ và sử dụng đồng cấu $\mathbf{Z}[(s_h)_{h=1,...,n}] \to A$ gửi $s_h$ tới $\lambda_h(a)$.)