Exercice 49, § 1

Soient $A$ un anneau, $E$ un $A$-module projectif de type fini, et $u \in \mathrm{End}_A(E)$. Si $E$ est un $A$-module libre, on note $\det_E(u)$ le déterminant de $u$. En général, on peut choisir un $A$-module $F$ tel que $E \oplus F$ soit un $A$-module libre de type fini, et on pose

a) Montrer que $\det_E(u)$ est indépendant du choix de $F$, que $\det(1_E) = 1$, et que $\det_E(u \circ v) = \det_E(u) \cdot \det_E(v)$ quels que soient $u, v$ dans $\mathrm{End}_A(E)$. b) Supposons que $L$ soit un sous-module facteur direct de $E$ stable par $u$, et notons $u_L \in \mathrm{End}_A(L)$ et $u_{E/L} \in \mathrm{End}_A(E/L)$ les endomorphismes définis par $u$. Alors on a $\det_E(u) = \det_L(u_L) \cdot \det_{E/L}(u_{E/L})$. Soient $T$ une indéterminée, $E[T] = A[T] \otimes_A E$, et identifions $u$ à $1_{A[T]} \otimes_A u \in \mathrm{End}_{A[T]}(E[T])$. Posons

(polynôme caractéristique de $u$) et

où 1 désigne $1_{E[T]}$ (cf. A, III, p. 107).

c) On a $\chi_E(0) = 1$. Supposons que E soit localement libre de rang constant r. On a $\overline{\chi}_E(1_E) = (1 + T)^r$. Si $\sigma_r : A[T, T^{-1}] \to A[T, T^{-1}]$ désigne l’application $(\sigma_r f)(T) = T^r \cdot f((-T)^{-1})$ on a $\sigma_r(\sigma_r(f)) = (-1)^r f$ et $\sigma_r(\overline{\chi}_E(u)) = \chi_E(u)$.

d) Soit $\alpha : A \to A'$ un homomorphisme d’anneaux. On a $\overline{\chi}_{A' \otimes_A E}(\mathrm{Id}_{A'} \otimes_A u) = \alpha(\overline{\chi}_E(u))$, où on note $\alpha$ aussi l’homomorphisme $A[T] \to A'[T]$ défini par $\alpha$.

e) On a $\overline{\chi}_E(u) \in \Lambda(A)$. Pour tout $n \in J$, on a

(Il suffit de vérifier les formules localement sur le spectre de A, donc on peut supposer E égal à $A'$. Soit $(u_{ij})_{1 \leq i,j \leq r}$ la matrice de $u$, soit $(X_{ij})_{1 \leq i,j \leq r}$ une famille d’indéterminées, posons $B = \mathbf{Z}[(X_{ij})]$, et soit $v$ l’endomorphisme de $B'$ de matrice $X = (X_{ij})_{1 \leq i,j \leq r}$. Il suffit de vérifier les formules pour $B'$ et $v \in \mathrm{End}_B(B')$. On peut plonger B dans un corps C algébriquement clos, et il suffit de vérifier les formules pour $C'$ et $w = \mathrm{Id}_C \otimes_B v$. Soient $a_1, ..., a_r$ les valeurs propres de $w$, de sorte que $\overline{\chi}_{C'}(w^n) = \prod_i (1 + a_i T)$. On a $\psi_n^C(\overline{\chi}_{C'}(w)) = \prod_{i=1}^r (1 + a_i^n T) = \overline{\chi}_{C'}(w^n)$. De plus $\chi_{\Lambda^n(C')}(\Lambda^n(w)) = \prod_H (1 + a_H T)$, où H parcourt l’ensemble des parties à n éléments de $\{1, ..., r\}$, et où $a_H = \prod_{h \in H} a_h$. On peut maintenant appliquer l’exerc. 46, d), p. 59, pour montrer que $\lambda_n^C(\overline{\chi}_{C'}(w)) = \overline{\chi}_{\Lambda^n(C')}(\Lambda^n(w))$.)

f) On a

autrement dit $L_n(\overline{\chi}_E(u)) = \operatorname{Tr}(u^n)$ pour $n \in J$. (Raisonner comme dans e).)

g) Soient $E'$ un A-module projectif de type fini, et $u' \in \mathrm{End}_A(E')$. On a, dans l’anneau $\Lambda(A)$,

(Raisonner comme dans e).)

h) Soient $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique $p$ non nulle, E un espace vectoriel sur $k$ de dimension finie $n$, $u$ un endomorphisme de E. On notera $\tilde{\chi}_E(u)$ l’image de $\overline{\chi}_E(u)$ dans $W(k)$ par les homomorphismes canoniques (exerc. 43, p. 57 et exerc. 39, p. 53) :

Prouver que si $\alpha_1, ..., \alpha_n$ sont les valeurs propres de l’endomorphisme $u$, on a