Bài tập 49, § 1

Cho $A$ là một vành, $E$ là một $A$-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, và $u \in \mathrm{End}_A(E)$. Nếu $E$ là một $A$-môđun tự do, người ta ký hiệu $\det_E(u)$ là định thức của $u$. Nói chung, ta có thể chọn một $A$-môđun $F$ sao cho $E \oplus F$ là một $A$-môđun tự do kiểu hữu hạn, và đặt

a) Chứng minh rằng $\det_E(u)$ độc lập với lựa chọn $F$, rằng $\det(1_E) = 1$, và rằng $\det_E(u \circ v) = \det_E(u) \cdot \det_E(v)$ với mọi $u, v$ trong $\mathrm{End}_A(E)$. b) Giả sử rằng $L$ là một môđun con hạng tử trực tiếp của $E$ ổn định dưới $u$, và ký hiệu bởi $u_L \in \mathrm{End}_A(L)$ và $u_{E/L} \in \mathrm{End}_A(E/L)$ các đồng cấu được xác định bởi $u$. Khi đó ta có $\det_E(u) = \det_L(u_L) \cdot \det_{E/L}(u_{E/L})$. Cho $T$ là một bất định, $E[T] = A[T] \otimes_A E$, và đồng nhất $u$ với $1_{A[T]} \otimes_A u \in \mathrm{End}_{A[T]}(E[T])$. Đặt

(đa thức đặc trưng của $u$) và

trong đó 1 ký hiệu $1_{E[T]}$ (xem A, III, p. 107).

c) Ta có $\chi_E(0) = 1$. Giả sử rằng E là tự do địa phương có hạng hằng r. Ta có $\overline{\chi}_E(1_E) = (1 + T)^r$. Nếu $\sigma_r : A[T, T^{-1}] \to A[T, T^{-1}]$ ký hiệu ánh xạ $(\sigma_r f)(T) = T^r \cdot f((-T)^{-1})$ thì ta có $\sigma_r(\sigma_r(f)) = (-1)^r f$ và $\sigma_r(\overline{\chi}_E(u)) = \chi_E(u)$.

d) Cho $\alpha : A \to A'$ là một đồng cấu vành. Ta có $\overline{\chi}_{A' \otimes_A E}(\mathrm{Id}_{A'} \otimes_A u) = \alpha(\overline{\chi}_E(u))$, trong đó $\alpha$ cũng ký hiệu đồng cấu $A[T] \to A'[T]$ được xác định bởi $\alpha$.

e) Ta có $\overline{\chi}_E(u) \in \Lambda(A)$. Với mọi $n \in J$, ta có

(Chỉ cần kiểm tra các công thức một cách địa phương trên phổ của A, do đó có thể giả sử E bằng $A'$. Gọi $(u_{ij})_{1 \leq i,j \leq r}$ là ma trận của $u$, gọi $(X_{ij})_{1 \leq i,j \leq r}$ là một họ các phần tử bất định, đặt $B = \mathbf{Z}[(X_{ij})]$, và gọi $v$ là tự đồng cấu của $B'$ có ma trận $X = (X_{ij})_{1 \leq i,j \leq r}$. Chỉ cần kiểm tra các công thức đối với $B'$ và $v \in \mathrm{End}_B(B')$. Có thể nhúng B vào một trường đóng đại số C, và chỉ cần kiểm tra các công thức đối với $C'$ và $w = \mathrm{Id}_C \otimes_B v$. Gọi $a_1, ..., a_r$ là các giá trị riêng của $w$, sao cho $\overline{\chi}_{C'}(w^n) = \prod_i (1 + a_i T)$. Ta có $\psi_n^C(\overline{\chi}_{C'}(w)) = \prod_{i=1}^r (1 + a_i^n T) = \overline{\chi}_{C'}(w^n)$. Hơn nữa $\chi_{\Lambda^n(C')}(\Lambda^n(w)) = \prod_H (1 + a_H T)$, trong đó H chạy qua tập hợp các tập con có n phần tử của $\{1 ..., r\}$, và trong đó $a_H = \prod_{h \in H} a_h$. Bây giờ ta có thể áp dụng Bài tập 46, d), p. 59, để chỉ ra rằng $\lambda_n^C(\overline{\chi}_{C'}(w)) = \overline{\chi}_{\Lambda^n(C')}(\Lambda^n(w))$.)

f) Ta có

nói cách khác $L_n(\overline{\chi}_E(u)) = \operatorname{Tr}(u^n)$ với $n \in J$. (Lý do như trong e).)

g) Gọi $E'$ là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, và $u' \in \mathrm{End}_A(E')$. Ta có, trong vành $\Lambda(A)$,

(Lý do như trong e).)

h) Gọi $k$ là một trường đóng đại số có đặc số khác không $p$, E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên $k$ có chiều hữu hạn $n$, $u$ là một tự đồng cấu của E. Ta ký hiệu bởi $\tilde{\chi}_E(u)$ ảnh của $\overline{\chi}_E(u)$ trong $W(k)$ bởi các đồng cấu chính tắc (Bài tập 43, p. 57 và Bài tập 39, p. 53):

Chứng minh rằng nếu $\alpha_1, ..., \alpha_n$ là các giá trị riêng của tự đồng cấu $u$, ta có