Exercice 52, § 1

Soient $(A_i)_{i \in I}$ une famille d’anneaux, $A = \prod_i A_i$, et $p_i : A \to A_i$ la projection canonique pour tout $i \in I$. a) L’application $\alpha : A[[T]] \to \prod_i A_i[[T]]$, qui applique $\sum a_n T^n$ sur $(\sum p_i(a_n) T^n)_{i \in I}$ est un isomorphisme d’anneaux. Elle définit, par restriction, un isomorphisme d’anneaux $\alpha : \Lambda(A) \to \prod_i \Lambda(A_i)$. De plus on a, pour tout $n \in J$, $\alpha \circ \lambda_n^A = (\prod_i \lambda_n^{A_i}) \circ \alpha$. (Utiliser les « polynômes universels » de l’exerc. 46, d), p. 59.) b) Supposons que, pour tout $i \in I$, $A_i$ soit muni d’une structure $\lambda_i : A_i \to \Lambda(A_i)$ de pré-$\lambda$-anneau. En identifiant $\Lambda(A)$ à $\prod_i \Lambda(A_i)$ au moyen de $\alpha$, on définit $\lambda = \prod_i \lambda_i : A \to \Lambda(A)$. Alors $(A, \lambda)$ est un pré-$\lambda$-anneau, appelé produit de la famille $((A_i, \lambda_i))_{i \in I}$. Pour que $(A, \lambda)$ soit un $\lambda$-anneau, il faut et il suffit que $(A_i, \lambda_i)$ en soit un pour tout $i \in I$.